Die Quadratur des Kreises einfach erklärt

Irgendwann im Laufe unserer schulischen Laufbahn lernen wir die Zahl Pi kennen. Auch wenn unsere Lehrer uns mit voller Überzeugung ein paar Stellen von Pi beigebracht hat, steckt hinter der Kreiszahl eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Die Quadratur des Kreises ist eine Aufgabe die mathematisch nur lösbar ist wenn man die Naturkonstante Pi vollständig kennt. Da diese aber unendlich viele Nachkommastellen hat, kennt niemand die Zahl Pi genau. Das macht die Quadratur des Kreises zu einem unlösbaren mathematischen Problem.

Archimedes und die Kreiszahl Pi

Die Berechnung eines Kreises ist seit jeher ein großes Problem für die Menschen. In vielen Bereichen ist es erforderlich beispielsweise den Umfang eines Rades oder eines Fasses zu berechnen. Dass das Verhältnis zwischen dem Radius und dem Umfang etwa 3 entspricht ist allerdings schon lange bekannt. Die Zahl wurde im Laufe der Zeit aber immer genauer. Archimedes war der erste der sich mit der Berechnung der Zahl pi ernsthaft auseinandergesetzt hat. Sein Ansatz wird bis heute verfolgt.

Großrechner

Da es in der Mathematik kein Problem ist Dreiecke, Vierecke, oder andere Polygone zu berechnen, aber die Berechnung des Kreises nicht so einfach ist, hat Archimedes versucht den Kreis mit möglichst vielen dieser geometrischen Formen zu füllen. Nimmt man ein Dreieck, das in den Kreis passt dann bleiben an den Seiten des Dreiecks jeweils Teile des Kreises frei. Das Dreieck ist also kleiner, als der Kreis. Die nicht abgedeckten Teile werden umso kleiner, umso mehr Ecken die geometrische Form im Kreis hat. Ein Viereck füllt also mehr Fläche des Kreises aus, als ein Dreieck. Ein Fünfeck, oder ein Sechseck entsprechen immer mehr der Kreisfläche, je mehr Ecken die Polygone haben. Archimedes hat sich also der Kreisfläche immer weiter angenähert, indem er Polygone mit immer mehr Ecken innerhalb des Kreises berechnet hat. Da im Kreis damit nicht die komplette Fläche bedeckt werden kann, ist die Fläche des Polygons immer noch kleiner als die Kreisfläche.

Der Mittelwert

Archimedes war klar dass er mit dieser Methode immer einen zu kleinen Wert erhielt. Also legte er ein zweites Polygon um den Kreis herum. Er ging hier genauso vor wie bereits innerhalb des Kreises. Konkret berechnete Archimedes ein Polygon mit 96 Ecken das innerhalb des Kreises lag und ein zweites das außerhalb des Kreises lag. Das Ergebnis waren zwei, mathematisch berechenbare geometrische Formen, von denen eine zu groß und die zweite zu klein war. Als nächstes berechnete Archimedes den Mittelwert der beiden Flächen und ermittelte so einen sehr exakten Wert für Pi. Mit dieser Naturkonstante ist es möglich die Fläche des Kreises, sowie seinen Umfang zu berechnen.

Näherungswerte

Der Weltrekord für die Berechnung der Zahl Pi liegt heute bei 12,1 Billionen Nachkommastellen. Ein Hochleistungsrechner hat mehr als 80 Tage damit verbracht die Zahl so genau zu berechnen. Trotzdem ist der exakte Wert der Kreiszahl Pi noch nicht bekannt. Sie wird auch nie vollständig berechnet sein, weil sie unendlich viele Stellen hat. Die Berechnung von Kreisen wird zwar, dank eines sehr genauen Wertes für Pi immer exakter, aber eben nie zu 100% stimmen.

Einfach erklärt

Möchte man selbst versuchen, einen Wert für PI zu berechnen, ist das mit einfachen Hilfsmitteln durchaus möglich. Zeichnet man beispielsweise einen Kreis mit dem Radius von zehn Zentimeter und teilt ihn anschließend in vier Teile, dann kann man, durch das Befüllen der so entstandenen Kreissegmente, mit Rechtecken, einen guten Näherungswert für die Kreiszahl Pi bestimmen. Dazu beginnt man mit dem Kreissegment links oben. Beginnend am unteren Rand zeichnet man Rechtecke mit einer Höhe von einem Zentimeter waagerecht entlang des Radius. Das unterste Rechteck hat die Länge des Radius. Die darüberliegenden Rechtecke werden so lange gezeichnet, dass sie genau mit der unteren Kante auf der Kreislinie enden. Ist man mit dem Zeichnen der 10 Rechtecke fertig, misst man sie aus und berechnet den Flächeninhalt. Als nächstes zeichnet man in das Kreissegment rechts oben ebenfalls Rechtecke mit einer Höhe von einem Zentimeter. Bei diesen Rechtecken endet jeweils die obere Kante rechts am Kreis.

Die Quadratur des Kreises

Auch für das rechte obere Kreissegment berechnet man den Flächeninhalt aller Rechtecke und addiert ihn. Im linken oberen Rechteck ergeben die Rechtecke eine Fläche die größer ist als das Kreissegment. Rechts oben, in dem Kreissegment in dem die obere Kante auf der Kreislinie endet, ist die Summe der Flächen der Rechtecke kleiner als die Fläche des Kreissegments. Theoretisch ist der Flächeninhalt der Rechtecke Links um die gleiche Fläche größer, als die Rechtecke rechts oben zu klein sind. Bildet man also einen Mittelwert der beiden Flächen, entspricht das in etwa der Fläche eines der vier Kreissegmente. Addiert man den Mittelwert mal 4 und dividiert ihn durch den Durchmesser, also den doppelten Radius, dann erhält man einen Wert zwischen 3 und 3,3. Abhängig davon, wie genau man gezeichnet und gemessen hat.

Mehr Ecken

Allerdings ist man hier noch weit von dem tatsächlichen Wert der Kreiszahl Pi entfernt. Rechnet man die Rechtecke aber nicht mit einer Höhe von einem Zentimeter sondern nur einen Millimeter hoch, dann ist das Ergebnis bereits wesentlich exakter. Archimedes hat nicht mit Rechtecken, sondern mit Dreiecken gearbeitet. Er hat Polygone mit 96 Ecken für die Berechnung der Kreiszahl Pi verwendet. Es ergeben sich damit 96 gleich große Dreiecke deren Schenkel jeweils die Länge des Radius haben. Durch die Berechnung des 96-eckigen Polygons innerhalb und außerhalb des Kreises, sowie der Bildung des Mittelwerts, hat Archimedes Pi sehr exakt berechnen können.

Pi, eine wichtige Zahl

Die Kreiszahl Pi ist heute aus der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Egal ob es um die Berechnung von Kreisen, oder Kurven geht, wird Pi benötigt. In vielen Bereichen des täglichen Lebens, in denen es um die exakte Berechnung von Kreisbahnen, Ellipsen, Kreisen, oder Kugeln geht, spielt Pi eine entscheidende Rolle. Damit ermöglicht die Kreiszahl der Menschheit Errungenschaften wie die Raumfahrt, die Luftfahrt und zahlreiche andere Wissenschaften. Die Genauigkeit der Zahl Pi ist heute für die meisten Anwendungen durchaus ausreichend. Die Quadratur des Kreises stellt heute, dank leistungsstarker Großrechner kein Problem mehr dar.